若二次方程a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有相等的根,求证2/b=1/a+1/c

二次方程a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有相等的根
△=[b(c-a)]^2-4ac(a-b)(b-c)
=b^2c^2-2acb^2+a^2b^2-4a^2bc+4a^2c^2+4acb^2-4abc^2
=(b^2c^2+2acb^2+a^b^2)-(4a^2bc+4abc^2)+4a^2c^2
=b^2(a+c)^2-4abc(a+c)+(2ac)^2
=[(b(a+c)-2ac]^2
=0
所以，
b(a+c)-2ac=0
b(a+c)=2ac
b/2=ac/(a+c)

b/2=1/a+1/c

解：∵a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有等根
∴Δ＝[b(c-a)]^2-4[a(b-c)][c(a-b)]=0
a^2b^2+b^2c^2-2acb^2
-4bca^2+4acb^2+4a^2c^2-4abc^2=0,
a^2b^2+b^2c^2+2acb^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0
(ab+bc)^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0
(ab+bc-2ac)^2=0
∴ab+bc-2ac=0,
ab+bc=2ac，两边同除以abc得：(1/c)+(1/a)=2/b,
∴2/b=1/a+1/c